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分辨率的三種判據(jù)

  • 更新日期:2024-11-08      瀏覽次數(shù):1040
    • 物鏡分辨率是指物鏡分辨兩個緊密相鄰特征的能力,理論上常用兩個可分辨的點(diǎn)光源之間的最小距離表示。點(diǎn)光源的圖像由于衍射不是一個亮點(diǎn),而是一個延伸的光強(qiáng)輪廓。這種輪廓叫艾里斑,包含一個中心亮斑和一系列強(qiáng)度顯著減弱的明暗交替同心環(huán)。因此,兩個點(diǎn)光源的圖像是兩個有所重疊的艾里斑,而物鏡分辨率取決于兩者之間的最小可分辨距離。


      雖然怎樣才能判定兩個艾里斑是可分辨的沒有基本的標(biāo)準(zhǔn),但實(shí)際應(yīng)用中仍有一些可供參考的判據(jù)。在顯微鏡成像中,常用的兩個判據(jù)是瑞利判據(jù)和阿貝判據(jù)。第三個是天文學(xué)常用的斯帕羅(Carrol Mason Sparrow)判據(jù)。


      瑞利判據(jù)


      瑞利判據(jù)指出,當(dāng)一個艾里斑的第一個強(qiáng)度極小值剛好和另一個艾里斑的極大值重合時(shí),這兩個艾里斑是可被分辨的。以中心極大值為圓心,第一個強(qiáng)度極小值位于半徑為1.22λf/D的圓環(huán)上,其中λ是光波長,f是物鏡焦距,而D是入瞳直徑。
      如果以數(shù)值孔徑(NA)表示,瑞利分辨率為:
      r(R) = 1.22λf/D = 0.61λ/NA
      左下圖展示了間距等于瑞利分辨率的兩個理想艾里斑(假設(shè)照明光源為非相干光源),而右下圖是對應(yīng)的光強(qiáng)曲線。通過兩條垂直的虛線可看出,每個艾里斑的大值剛好和相鄰艾里斑的小值重合。而且,兩個大值之間還有一個局部小值,清晰地出現(xiàn)在兩個白色光斑之間的灰色區(qū)域。

      分辨率的三種判據(jù)

      阿貝判據(jù)


      在阿貝理論中,成像是一個雙重衍射過程。在這個理論框架中,為了分辨相距為d的兩個特征,要求是零級和一級衍射都能通過物鏡。因?yàn)橐患壯苌涞慕嵌葹閟inθ? = λ/d,所以兩個特征的最小間距(物鏡分辨率)為d = λ/(n·sinα),其中α是物鏡的孔徑半角,而n是成像介質(zhì)的折射率。
      上述結(jié)果是實(shí)際分辨率極限的2倍,因?yàn)樗僭O(shè)兩個一級衍射都要通過物鏡,但實(shí)際上只需要通過一個一級衍射和零級衍射。將上述結(jié)果除以2并代入NA的表達(dá)式可得出著名的阿貝分辨率:
      r(A) = 0.5λ/NA
      左下圖展示了間距等于阿貝分辨率的兩個理想艾里斑,而右下圖是對應(yīng)的光強(qiáng)曲線。相比瑞利分辨率,原點(diǎn)處的極小值更難分辨很多,因?yàn)樗槐葍蓚€強(qiáng)度極大值低2%左右。

      分辨率的三種判據(jù)

      斯帕羅判據(jù)


      對于瑞利和阿貝分辨率,兩個點(diǎn)光源的合成強(qiáng)度輪廓有一個小值,位于兩個大值中間的原點(diǎn)處。從某種意義上講,這正是兩個點(diǎn)光源得以分辨的原因。如果間距進(jìn)一步減小,直至小于阿貝分辨率極限,這兩個單獨(dú)的極大值就將融合成一個中心大值而無法分辨。因此,斯帕羅分辨率判據(jù)指出,當(dāng)中心從小值過渡到大值時(shí),兩個點(diǎn)光源的間距達(dá)到可分辨極限。
      在斯帕羅分辨率極限位置,合成強(qiáng)度輪廓的中心是平坦的,說明強(qiáng)度對位置的導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處為零。但這不能判斷原點(diǎn)處的強(qiáng)度是極大值還是極小值。由于斯帕羅分辨率極限發(fā)生在原點(diǎn)強(qiáng)度從局部極小值過渡為極大值的時(shí)候,因此二次導(dǎo)數(shù)的符號必須從正變?yōu)樨?fù)。
      因此,斯帕羅判據(jù)是基于二階導(dǎo)數(shù)的。當(dāng)原點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為零時(shí),分辨率達(dá)到極限。將此條件應(yīng)用于兩個艾里斑的合成強(qiáng)度輪廓,可得到斯帕羅分辨率:
      r(S) = 0.47λ/NA
      左下圖展示了間距等于斯帕羅分辨率的兩個艾里斑,而右下圖是對應(yīng)的光強(qiáng)曲線,其原點(diǎn)處沒有強(qiáng)度凹陷。

      分辨率的三種判據(jù)